GELU激活函数

论文：GAUSSIAN ERROR LINEAR UNITS (GELUS)

年份：2016

ReLU激活函数的公式可以理解为：

R
e
L
U
(
x
)
=
x
⋅
{
1
,
x
≥
,
x
<
ReLU(x) = x\cdot \begin{cases} 1,&x\ge 0\\ 0,&x<0 \end{cases}
ReLU(x)=x⋅{1,0,​x≥0x<0​
ReLU、Dropout等机制都希望将\textbf{不重要}的激活信息规整为零。也就是对于输入的值，根据它需要的情况乘以1或0，需要乘以谁不像ReLU人工定义，而是根输入有关。更为数学的描述，对于一个输入$x\sim N(0,1)$，即$x$服从标准正态分布，而输入$x$还要乘上一个伯努利分布$Bernoulli(\Phi (x))$。
随着$x$的降低，输出值被归为0的概率就会升高。对于ReLU,这个界限就是0，输入小于0时，输出就归为0。
则怎么判断这个伯努利试验到底失败还是成功呢？则在引入$\Phi (x)$来控制伯努利试验成功的概率即：
$$\Phi (x)\cdot Ix+(1-\Phi (x))\cdot 0x=x\cdot \Phi (x)$$
这个表达式表示根据$x$比其它输入大多少来缩放它。由于高斯分布的累积分布函数通常用误差函数来计算，因此将高斯误差线性单元)(GELU)定义为：

G
E
L
U
(
x
)
=
x
Φ
(
x
)
=
x
⋅
1
2
(
1
+
e
r
f
(
x
/
2
)
)
GELU(x) = x\Phi(x) = x\cdot \frac{1}{2}(1+erf(x/\sqrt{2}))
GELU(x)=xΦ(x)=x⋅21​(1+erf(x/2​))
近似于

G
E
L
U
(
x
)
≈
0.5
x
(
1
+
t
a
n
h
(
2
/
π
(
x
+
0.044715
x
3
)
)
)
≈
x
⋅
s
i
g
m
o
i
d
(
1.702
x
)
GELU(x) \approx 0.5x(1+tanh(\sqrt{2/\pi}(x+0.044715x^3)))\approx x\cdot sigmoid(1.702x)
GELU(x)≈0.5x(1+tanh(2/π​(x+0.044715x3)))≈x⋅sigmoid(1.702x)

当$\mu =0,\sigma =1$时，将GELU称为Sigmoid Linear Unit(SiLU)激活函数。

GELU激活函数的曲线和导数曲线如下图所示。

• GELU为非单调激活函数,有助于保持小的负值,从而稳定网络梯度流;
• GELU在0附近接近与恒等函数$x$。
• GELU的最小值为-0.21，值域为$[-0.21,+\infty ]$。上界是任何激活函数都需要的特征,因为这样可以避免导致训练速度急剧下降的梯度饱和,因此加快训练过程。无下界有助于实现强正则化效果;
• GELU的梯度不容易造成梯度爆炸和梯度消失。
• 光滑性:光滑的激活函数有较好的泛化能力和稳定的优化能力,可以提高模型的性能