现代信号处理——时频分析与时频分布（小波变换）

一、小波变换概述

1、小波的特点和发展

小波变换是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。

例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。

小波变换的实质是利用多种小波基函数对原始信号进行分解。

小波分析发展历史

1910年Haar提出最简单的小波

1980年Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。

1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。

1988年Mallat提出的多分辨度分析理论（MRA），统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。

小波变换的特点

小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。

小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取(图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等)

小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时，Fourier变换（左）和小波变换(右）计算复杂性分别如下公式：

运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。

时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B)的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。

频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。 

 

 二、连续小波变换

小波(wavelet)的物理意义就是“小区域的波”，即时域上有限支撑且振荡的一类函数。

 

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小波变换的特点

1、从物理上看，信号的小波变换就是信号通过一组品质因数恒定带通滤波器的过程。值得指出的是，品质因数恒定是小波变换的一个重要性质，也是小波变换被广泛采用的一个重要原因。

2、从时频分析的角度看，小波变换在时频平面上的基本分析单元具有如下的特点：当a值较小时，时间轴上观察范围小，而在频域上相当于用高频小波作细致观察，当a值较大时，时间轴上观察范围大，而在频域上相当于用低频小波作概貌观察。

 

 

 

 

 

 

 三、离散小波变换（DWT）

 

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四、小波变换的应用 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

参考视频：

https://www.bilibili.com/video/BV1wS4y1D7ng/?p=11&spm_id_from=pageDriver&vd_source=77c874a500ef21df351103560dada737